超越数とは？
どんな多項式も届かない数
π と e は整数係数の方程式を何一つ満たさない
ある数が超越数であるとは、その数が整数係数を持つどんな多項式方程式の根にもならないことをいう。π は x^2 - 3x + 1 = 0 のような方程式を一切満たさない。e も同様である。超越数は代数学の届かない場所にある。名前を挙げられる例は少ないが、実際にはほとんどすべての実数が超越数である。
数の階層：外側の輪ほど大きい
すべての有理数は代数的数であり、すべての代数的数は実数である。しかし代数的数の外側にある超越数は、それら全部を合わせたよりもはるかに多い。
年表：主要な超越性の証明 1844–1934
リウヴィルの人工的な構成（1844年）から、ゲルフォント＝シュナイダーの定理（1934年）まで、超越数論は好奇心の対象から数論の主要分野へと成長した。
代数的数と超越数：代数的とは何か？
代数的数と超越数：代数的とは何か？
最小多項式をもつ代数的数と、そうした多項式をもたない超越数の表
| 数 | 最小多項式 |
|---|---|
| √2 = 1.41421... | x^2 - 2 = 0 |
| φ = 1.61803... | x^2 - x - 1 = 0 |
| ∛5 = 1.70997... | x^3 - 5 = 0 |
| i = √(-1) | x^2 + 1 = 0 |
| π = 3.14159... | そのような多項式は存在しない |
| e = 2.71828... | そのような多項式は存在しない |
| e^π = 23.1406... | そのような多項式は存在しない |
超越数の要点
超越数とは、整数係数多項式のどんな方程式も満たさない数である。1844 年にリウヴィルが最初の明示例を与えた。1873 年にはエルミートが e の超越性を証明し、1882 年にはリンデマンが π の超越性を証明して、古代からの円積問題が不可能であることを最終的に確定した。ゲルフォント＝シュナイダーの定理（1934 年）は、a が 0 や 1 でない代数的数、b が無理な代数的数なら a^b は超越数になることを示す。ほとんどすべての数が超越数であるにもかかわらず、個別の数についてそれを証明するのは非常に難しい。
使用分野
数学
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物理学
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工学
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生物学
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計算機科学
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統計学
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金融
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芸術
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建築
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音楽
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暗号学
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天文学
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化学
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哲学
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地理学
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生態学
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問題
Champernowne定数0.12345678910...は超越数ですか？
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Pi
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