पारातीत संख्याएँ क्या हैं?
कोई संख्या पारातीत कहलाती है यदि वह पूर्णांक गुणांकों वाले किसी भी बहुपद समीकरण की जड़ न हो। π, x^2 - 3x + 1 = 0 जैसे किसी समीकरण को संतुष्ट नहीं करता। e भी ऐसा कोई समीकरण संतुष्ट नहीं करता। वे बीजगणित की पहुँच से बाहर हैं। किसी विशेष पारातीत संख्या को नाम से पहचानना कठिन है, फिर भी लगभग हर वास्तविक संख्या पारातीत होती है।
प्रत्येक परिमेय संख्या बीजीय होती है। प्रत्येक बीजीय संख्या वास्तविक होती है। लेकिन बीजीय वलय के बाहर की अबीजीय (ट्रांसेंडेंटल) संख्याएं सभी बीजीय संख्याओं की तुलना में कहीं अधिक हैं।
लिउविल के कृत्रिम निर्माण (1844) से लेकर गेलफोंड-श्नाइडर प्रमेय (1934) तक, अबीजीयता सिद्धांत एक कौतूहल से संख्या सिद्धांत की एक प्रमुख शाखा बन गया।
| संख्या | न्यूनतम बहुपद |
|---|---|
| √2 = 1,41421... | x^2 - 2 = 0 |
| φ = 1,61803... | x^2 - x - 1 = 0 |
| ∛5 = 1,70997... | x^3 - 5 = 0 |
| i = √(-1) | x^2 + 1 = 0 |
| π = 3,14159... | कोई बहुपद मौजूद नहीं |
| e = 2,71828... | कोई बहुपद मौजूद नहीं |
| e^π = 23,1406... | कोई बहुपद मौजूद नहीं |
कोई संख्या पारातीत तब होती है जब वह पूर्णांक गुणांकों वाले किसी भी बहुपद समीकरण को संतुष्ट नहीं करती। 1844 में लियूविल ने पहला स्पष्ट उदाहरण दिया। 1873 में एर्मीट ने e को पारातीत सिद्ध किया। 1882 में लिंडेमान ने π को पारातीत सिद्ध किया, जिससे प्राचीन वृत्त-चतुर्भुजीकरण समस्या असंभव साबित हुई। Gelfond-Schneider प्रमेय (1934) कहता है कि a^b पारातीत होता है जब a बीजीय हो और 0 या 1 न हो, और b बीजीय पर अपरिमेय हो। यद्यपि पारातीत संख्याएँ अपवाद नहीं बल्कि सामान्य नियम हैं, किसी विशेष संख्या को पारातीत सिद्ध करना अभी भी अत्यंत कठिन है।
Pi
नमपैड-पथ विधि से पाई, e और 38 गणितीय अचरों को कंठस्थ कीजिए
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