什么是超越数？
任何整系数多项式都“到达不了”它们
π 和 e 都不满足任何整系数方程
如果一个数不是任何整系数多项式方程的根，那么它就是超越数。π 不满足像 x² - 3x + 1 = 0 这样的方程，e 也不满足。它们处在代数所能触及的范围之外。尽管能明确命名的超越数并不多，但从整体上看，超越数才是常态：几乎所有实数都是超越数。
数的层级：每一层都包含下一层
超越数位于“代数数之外”，但仍然属于实数（以及复数）的一部分。
时间线：1844–1934 年的关键超越性证明
从刘维尔在 1844 年构造出第一个显式例子，到 Gelfond–Schneider 定理在 1934 年解决 Hilbert 第七问题，超越性理论迅速发展。
代数数 vs 超越数：什么让一个数成为代数数？
代数数 vs 超越数：什么让一个数成为代数数？
左边是代数数及其最小多项式；右边是不存在任何整系数多项式的超越数。
| 数 | 最小多项式 |
|---|---|
| √2 = 1.41421... | x^2 - 2 = 0 |
| φ = 1.61803... | x^2 - x - 1 = 0 |
| ∛5 = 1.70997... | x^3 - 5 = 0 |
| i = √(-1) | x^2 + 1 = 0 |
| π = 3.14159... | 不存在这样的多项式 |
| e = 2.71828... | 不存在这样的多项式 |
| e^π = 23.1406... | 不存在这样的多项式 |
超越数速览
如果一个数不满足任何整系数多项式方程，它就是超越数。刘维尔在 1844 年给出了第一个显式例子。埃尔米特在 1873 年证明 e 是超越数，林德曼在 1882 年证明 π 是超越数，这也顺带否定了“化圆为方”的可能。虽然超越数在实数中几乎处处都是，但我们目前能明确写下并证明其超越性的具体例子仍然不算多。
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