O que são números transcendentais?
Um número é transcendental se não for raiz de nenhuma equação polinomial com coeficientes inteiros. O número π não satisfaz nenhuma equação como x^2 - 3x + 1 = 0. A constante e também não satisfaz tal equação. Eles existem além do alcance da álgebra. Embora seja raro conseguir nomeá-los, os números transcendentais são a regra, não a exceção: quase todo número real é transcendental.
Todo número racional é algébrico. Todo número algébrico é real. Mas os números transcendentais, fora do anel algébrico, são incomensuravelmente mais numerosos do que todos os números algébricos combinados.
Da construção artificial de Liouville (1844) ao teorema de Gelfond-Schneider (1934), a teoria da transcendência cresceu de uma curiosidade para um ramo importante da teoria dos números.
| NÚMERO | POLINÓMIO MÍNIMO |
|---|---|
| √2 = 1,41421... | x^2 - 2 = 0 |
| φ = 1,61803... | x^2 - x - 1 = 0 |
| ∛5 = 1,70997... | x^3 - 5 = 0 |
| i = √(-1) | x^2 + 1 = 0 |
| π = 3,14159... | nenhum polinómio existe |
| e = 2,71828... | nenhum polinómio existe |
| e^π = 23,1406... | nenhum polinómio existe |
Um número é transcendental se não satisfaz nenhuma equação polinomial com coeficientes inteiros. Liouville deu o primeiro exemplo explícito em 1844. Hermite provou que a constante e é transcendental em 1873. Lindemann provou que π é transcendental em 1882, resolvendo definitivamente o antigo problema da quadratura do círculo como impossível. O teorema de Gelfond-Schneider (1934) mostra que a^b é transcendental sempre que a é algébrico e diferente de 0 e 1, e b é algébrico e irracional. Apesar de serem a regra, provar que um número específico é transcendental continua sendo extremamente difícil.
Pi
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