無理数とは？
p/q では表せない
分数として書けない数がある
ある数が無理数であるとは、それを整数 p, q を用いた分数 p/q として表せないことを意味する。小数展開は終わらず、しかも周期的に繰り返さない。√2、π、e、φ はみな無理数である。これらは例外ではなく、実数全体のほとんどを占めている。
数直線上の有理数と無理数
青は有理数（正確な分数）、赤は無理数（非周期の無限小数）。任意の 2 つの有理数の間には無理数があり、その逆も成り立つ。
幾何学的証明：√2 は無理数である
Unit square diagonal = √2. Assume √2 = p/q (lowest terms).
すると 2 = p²/q²、よって p² = 2q²。p² が偶数なので p も偶数。p = 2k と書ける。
すると 4k² = 2q²、したがって q² = 2k²。q も偶数になる。これは p/q が既約分数という仮定に矛盾する。∎
小数展開：違いの見分け方
有限小数や循環小数をもつ有理数と、非周期で終わらない無理数を比較する表。
| 有理数：終わるか循環する | 無理数：決して繰り返さない |
|---|---|
| 1/4 = 0.25000... | √2 = 1.4142135... |
| 有限小数 | 規則なし、終わらない |
| 1/3 = 0.3333... | π = 3.1415926... |
| 循環ブロック {3} | 規則なし、終わらない |
有理数に比べて無理数はどれほど多いか？
有理数は無限個あるが一覧にできる（可算）。無理数は一覧にできない。実数を無作為に 1 つ選んだとき、それが有理数である確率は正確に 0 である。
無理数の要点
無理数とは、整数 p, q を用いた分数 p/q で表せない数である。小数展開は終わらず、周期的にもならない。紀元前 500 年ごろ、ピュタゴラス学派は √2 が無理数であることを示し、当時は衝撃的な発見だった。1761 年にランベルトが π の無理性を、1737 年にオイラーが e の無理性を証明した。有理数は可算無限だが、無理数は非可算であるため、実数のほとんどすべては無理数である。
使用分野
数学
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物理学
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哲学
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生態学
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問題
無理数の小数展開はどのようなものですか？
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