什么是无理数？
p/q 并不存在答案
有些数无法写成分数。
如果一个数不能表示为整数 p 与 q 的比 p/q，那么它就是无理数。它的小数展开永不终止，也永不形成循环。√2、π、e 和 φ 都是无理数。它们不是少见的例外，而是实数中的绝大多数。
数轴上的有理数与无理数
蓝色表示有理数，也就是精确分数；红色表示无理数，也就是不循环的小数。在任意两个有理数之间都存在无理数，反之亦然。
几何证明：√2 是无理数
单位正方形的对角线 = √2。设 √2 = p/q（最简分数）。
则有 2 = p²/q²，所以 p² = 2q² —— p² 为偶数，因此 p 也是偶数。设 p = 2k。
于是 4k² = 2q²，所以 q² = 2k² —— q 也为偶数。这与 p/q 已约成最简分数矛盾。∎
十进制展开：如何分辨两者
比较有理数的有限或循环小数展开，与无理数无限且不循环的小数展开。
| 有理数：有限或循环 | 无理数：永不循环 |
|---|---|
| 1/4 = 0.25000... | √2 = 1.4142135... |
| 有限终止 | 没有模式，永不循环 |
| 1/3 = 0.3333... | π = 3.1415926... |
| 循环节：{3} | 没有模式，永不循环 |
| 22/7 = 3.142857... | e = 2.7182818... |
| 循环节：{142857} | 没有模式，永不循环 |
| 5/11 = 0.454545... | φ = 1.6180339... |
| 循环节：{45} | 没有模式，永不循环 |
与有理数相比，无理数有多少？
尽管有理数有无穷多个，但它们可以被列出来，也就是可数的。无理数则不能被列出。若从实数中“随机”选取一个数，它是有理数的概率恰好为零。
无理数速览
如果一个数不能写成整数 p 与 q 的比 p/q，它就是无理数。它的小数展开永不终止，也永不周期重复。大约在公元前 500 年，毕达哥拉斯学派证明了 √2 是无理数，这在当时是一个巨大的震撼。Lambert 于 1761 年证明 π 是无理数，Euler 于 1737 年证明 e 是无理数。绝大多数实数都是无理数：有理数虽然也是无穷多个，但它们只是可数无穷；无理数则是不可数的。因此若从实数中随机选取一个数，它以概率 1 是无理数。代数无理数满足某个多项式方程，超越数则不满足。
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