O que é a Constante de Catalan?
Soma alternada 1 − 1/9 + 1/25 − … convergindo para G
G = 1 − 1/9 + 1/25 − 1/49 + … = Σ (−1)ⁿ/(2n+1)². A série alternada converge lentamente. Continua desconhecido se G é irracional.
Três formas equivalentes da constante de Catalan
G = Σₙ₌₀^∞ (−1)ⁿ/(2n+1)² ≈ 0.91597…
G = ∫₀¹ arctan(t)/t dt = ∫₀^(π/2) ln(1/sin t)/2 · dt
As três expressões são iguais. G aparece na combinatória, na física e na análise.
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Fatos principais sobre a Constante de Catalan
A constante de Catalan G = 1 - 1/9 + 1/25 - 1/49 + ... = 0.91596559... Saber se ela é irracional é um dos grandes problemas em aberto da matemática. Ela aparece na combinatória, na avaliação de certas integrais e como o valor da função beta de Dirichlet em 2. Foi estudada por Eugène Catalan em 1865. Já foi calculada com mais de 600 mil milhões de casas decimais.
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