調和級数
H = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... = ∞
発散するが、どの発散級数よりもゆっくり増える
調和級数は、すべての単位分数を足した級数である。各項 1/n は 0 に近づくので収束しそうに見えるが、実際には収束しない。証明は項のグループ分けでできる。1/3+1/4 > 1/2、次に 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2、というように、各グループは少なくとも 1/2 を足し続けるからである。
オレームの証明：グループ分けで発散がわかる
1 + 1/2 + (1/3+1/4) + (1/5+…+1/8) + …
各グループは ≥ 1/2： 1/3+1/4 > 2×1/4 = 1/2、さらに 1/5+…+1/8 > 4×1/8 = 1/2
このようなグループを無限に追加できるので、和は際限なく増える。∎（オレーム、1360年ごろ）
H(n) は ln(n) + γ のように増える
H(n) と ln(n) は一緒に増え、その差は常におよそ γ ≈ 0.5772 である。どちらも発散するが、H(n)=100 に達するには約 10^43 項が必要。
100 に達するには 10^43 項以上が必要
H(n)=100 に達するには約 10^43 項が必要。観測可能な宇宙の原子数よりも多い。
関連トピック
調和級数の要点
調和級数 1 + 1/2 + 1/3 + ... は発散する。14 世紀ごろ、ニコル・オレームがグループ分けによる証明を与えた。各項は 0 に近づくのに、和はどんな上界も超えてしまう。部分和は ln(n) + γ のように増え、γ ≈ 0.5772 はオイラー＝マスケローニ定数である。100 万項足しても和は約 14 しかない。100 に達するには 10^43 項以上が必要である。交代級数 1 - 1/2 + 1/3 - ... は ln 2 に収束する。
使用分野
数学
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物理学
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工学
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生物学
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計算機科学
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統計学
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金融
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芸術
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建築
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音楽
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暗号学
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天文学
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化学
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哲学
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地理学
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生態学
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