调和级数
H = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... = ∞
它发散，但比其他常见发散级数慢得多
调和级数是所有单位分数的和。每一项 1/n 都趋向于 0，这似乎暗示总和可能会收敛，但事实并非如此。经典证明利用分组：1/3+1/4 > 1/2，接着 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2，而之后的每一组至少也都贡献 1/2。因此总和会超过任何给定界限。尽管如此，它发散得异常缓慢：要让部分和达到 100，所需项数比可观测宇宙中的原子数还多。
奥雷姆证明：通过分组看出发散
1 + 1/2 + (1/3+1/4) + (1/5+…+1/8) + …
每一组都 ≥ 1/2：1/3+1/4 > 2×1/4 = 1/2，而 1/5+…+1/8 > 4×1/8 = 1/2。
我们总能继续再加一组 ≥ 1/2，因此总和没有上界。证毕（Oresme 约 1360 年）。
H(n) 的增长像 ln(n) 再加上 γ
H(n) 与 ln(n) 一起增长，二者始终相差约 γ ≈ 0.5772。两者都会发散：要让 H(n) = 100，大约需要 10^43 项。
发散有多慢：H(n) 超过整数量级时的里程碑
要使 H(n)=100，大约需要 10^43 项，这比可观测宇宙中的原子总数还要多。
调和级数速览
调和级数 1 + 1/2 + 1/3 + ... 会发散。Nicole Oresme 大约在 1350 年证明了这一点。虽然每一项都趋于 0，但总和仍会超过任何上界。它的部分和增长得像 ln(n) + gamma，其中 gamma ≈ 0.5772，是欧拉-马歇罗尼常数。即便加到一百万项，总和也只有大约 14。要达到 100，则需要超过 10^43 项。与之相比，交错级数 1 - 1/2 + 1/3 - ... 则会收敛到 ln 2。
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