什么是 Champernowne 常数？

C₁₀ = 0.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12…

0.12345678910111213141516… 超越数（Mahler，1937）。在 10 进制下正规（Champernowne，1933）。

把所有正整数依次写在小数点后面，就得到 0.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15… 这就是 Champernowne 常数。在它的十进制展开中，每个有限数字串都会在某处出现，而且每个由 k 位数字组成的区块都会以 1/10ᵏ 的频率出现。

逐位构造的 Champernowne 常数

在前 1000 位中，数字 1 出现得最多，因为像 1–9、10–19 这样的数含有更多的 1。随着 n 增大，分布会逐渐归一化。

D. G. Champernowne 在 1933 年还是剑桥学生时构造了这个数，用来给出 10 进制下正规数的第一个显式例子。所谓正规数，是指每个由 k 位数字组成的区块都以 1/10ᵏ 的频率出现。Champernowne 证明了他的常数是正规的，而对于 π 或 e 这样的自然出现常数，这一点至今仍未被证明。

Champernowne 常数：前 100 位中的数字频率

在前 100 位中，数字 1 出现了 14 次。随着位数增加，这种不均衡会消失。

Kurt Mahler 在 1937 年证明了 C₁₀ 是超越数。0.1234567891011… 属于那类罕见的常数：我们可以轻而易举地把它算到任意精度，而它的十进制展开却仍在某处编码了每一种可能的有限文本、每一个数字，以及一切曾被写下的信息。

刘维尔常数 → 超越数 → 无理数 → Erdős–Borwein 常数 →

两位数字序列的频率各约为 1%（正规性开始显现）

Champernowne 常数前 10,000 位中选取的两位数字对。每一对出现的频率都接近 1%。真正完整的正规性要在更大的尺度上才会显现。

Pi

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