什么是沃利斯乘积？

π/2 = ∏ 4n²/(4n²-1)

π = 2 · (2/1) · (2/3) · (4/3) · (4/5) · (6/5) · (6/7) ⋯ 沃利斯，1655。

沃利斯乘积把 π/2 写成一串极其简单的分数乘积：(2/1) × (2/3) × (4/3) × (4/5) × (6/5) × (6/7) × ⋯ 每个偶数都会出现两次，一次比分母大，一次比分母小。只要乘上足够多项，这个乘积就会收敛到 π/2 ≈ 1.5708。

沃利斯部分乘积逼近 π/2

沃利斯乘积的部分乘积会逐渐逼近 π/2 ≈ 1.5708。

John Wallis 在 1655 年通过比较积分 ∫₀^(π/2) sinⁿ(x) dx 中偶数次幂与奇数次幂的情形，导出了这个公式。它最令人惊异的地方在于：无需几何，只靠有理数的乘法就能得到 π。相同的乘积也可以从 Gamma 函数恒等式 π = Γ(1/2)² 中推出。

沃利斯乘积：交替出现的偶数分式

π/2 = (2/1)·(2/3)·(4/3)·(4/5)·(6/5)·(6/7)·…

= Π_{n=1}^∞ (4n²)/(4n²−1)

沃利斯在 1655 年通过比较 sin(x) 幂次积分推导出了它。这是历史上第一个关于 π 的乘积公式。

沃利斯乘积收敛得很慢：在 n 对因子之后，误差量级约为 1/(4n)。尽管如此，它在理论上的意义极其重大，是最早被研究的无穷乘积之一，也为后来的 sin(x) = x∏(1 - x²/n²π²) 以及复分析中的无穷乘积理论开辟了道路。

从 0 到 π/2 的 sin^n(x) 积分：偶/奇规律导出沃利斯乘积

偶数 n 的积分带有 π/2 因子，奇数 n 的积分则是纯有理数；相邻积分的比值极限正好导出沃利斯乘积。

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