피보나치 수
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…
피보나치 수열은 1, 1로 시작하고 그 다음부터는 항상 앞의 두 수를 더해 만든다. 1202년 레오나르도 다 피사(피보나치)의 책을 통해 유럽에 널리 알려졌지만, 이 수열 자체는 그보다 수세기 전 인도 수학에서도 이미 알려져 있었다. 연속한 항의 비는 황금비 φ로 수렴하며, 효율적인 배치가 나타나는 자연 곳곳에서 발견된다.
피보나치 나선: 정사각형과 사분원 호(노틸러스 껍데기처럼)
파스칼 삼각형 속 피보나치: 얕은 대각선의 합이 피보나치 수가 된다
비네 공식: 피보나치 수의 닫힌형
F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5
φ = (1+√5)/2 ≈ 1.61803… ψ = (1−√5)/2 ≈ −0.61803…
Because |ψ| < 1, ψⁿ → 0. F(n) is the nearest integer to φⁿ / √5.
피보나치 수의 핵심 사실
피보나치 수열 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… 은 F(n)=F(n-1)+F(n-2) 로 정의된다. 유럽에는 1202년 레오나르도 다 피사가 소개했지만, 인도 수학에서는 적어도 6세기부터 알려져 있었다. 연속한 피보나치 수의 비는 황금비 φ로 수렴한다. 이 수열은 해바라기 씨 나선, 솔방울 비늘, 파인애플 무늬, 나무의 가지 분기 등에 나타난다. 비네 공식 F(n) = (φ^n - ψ^n) / √5 는 이를 정확한 닫힌형으로 준다.
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