संख्या प्रणालियाँ
गणित ने पाँच मुख्य संख्या प्रणालियाँ बनाई हैं, जिनमें हर नई प्रणाली पिछली का विस्तार है। हर विस्तार का कारण कोई ऐसा समीकरण था जिसका पहले समाधान नहीं था: "3-5 क्या है?" ने पूर्णांकों को जन्म दिया; "1/3 क्या है?" ने परिमेयों को; "sqrt(2) क्या है?" ने वास्तविक संख्याओं को; और "sqrt(-1) क्या है?" ने समिश्र संख्याओं को।
Table showing properties gained and lost when extending number systems
| SYSTEM | GEWONNEN | VERLOREN ODER VERÄNDERT |
|---|---|---|
| N, natürliche Zahlen | Zählen, +, × | keine Subtraktion |
| Z, ganze Zahlen | Subtraktion, Negative | keine Division |
| Q, rationale Zahlen | Division, Brüche | kein √2 |
| R, reelle Zahlen | alle Grenzwerte, √2, π | kein √(-1) |
| C, komplexe Zahlen | alle Polynomnullstellen | algebraisch abgeschlossen |
| H, Quaternionen | Drehungen im 3D-Raum | ab ist nicht gleich ba |
| Jede Erweiterung ist eine echte Vergrößerung, keine bloße Umbenennung |
Blue: natural numbers ℕ. Green adds 0. Purple extends to negative integers ℤ. Orange adds fractions ℚ. Red: irrationals fill the rest of ℝ.
गणित की पाँच मुख्य संख्या प्रणालियाँ हैं: प्राकृतिक संख्याएँ N (गिनती, बिना घटाव), पूर्णांक Z (ऋणात्मक और घटाव जोड़ते हैं), परिमेय Q (भाग जोड़ते हैं), वास्तविक R (सीमाएँ और अपरिमेय जोड़ते हैं), और समिश्र C (sqrt(-1) जोड़ते हैं)। हर विस्तार ने ऐसा समीकरण हल किया जिसे पिछली प्रणाली हल नहीं कर सकती थी। समिश्र संख्याएँ बीजीय रूप से पूर्ण हैं: हर बहुपद समीकरण का हल C के भीतर मिलता है। समावेशन सख्त है: N, Z के भीतर; Z, Q के भीतर; Q, R के भीतर; और R, C के भीतर है, जबकि पारातीत संख्याएँ R की बाहरी परत को भर देती हैं।
पाई
Memorize pi, e, and 40+ mathematical constants using the numpad path method
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