Wat is de constante van Euler-Mascheroni (γ)?
De harmonische reeks 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ divergeert, maar groeit ongelooflijk langzaam. Na een miljoen termen bereikt deze nauwelijks 14. De natuurlijke logaritme ln(n) groeit in hetzelfde tempo. De constante van Euler-Mascheroni γ is het precieze verschil daartussen: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
Het verschil tussen de harmonische som en ln(n) nadert γ ≈ 0,5772 als n naar oneindig gaat. De convergentie is zeer langzaam: bij n = 1000 is het verschil nog steeds 0,001.
γ verschijnt overal in de analyse en getaltheorie. Het verbindt de harmonische reeks met de Riemann-zètafunctie: formeel geldt γ = -ζ'(1). Het getal verschijnt in de gammafunctie Γ'(1) = -γ, in de verdeling van priemkloven, in Besselfuncties en in de asymptotische expansie van de digammafunctie.
Of γ rationaal of irrationaal is, is een van de oudste open problemen in de wiskunde. Vrijwel elke wiskundige vermoedt dat het getal transcendent is, maar een bewijs ontbreekt. Het is berekend tot meer dan 600 miljard decimalen: 0,57721566490153286060651209008240243…
De harmonische partiële sommen H(n) (rood, trapsgewijs) tegenover ln(n) + γ (blauw, vloeiend). Het verschil daartussen nadert 0: H(n) - ln(n) convergeert naar γ.
De Euler-Mascheroni-constante gamma is ongeveer 0,57721566490153286060. Of het getal rationaal of irrationaal is, is onbekend: een van de beroemdste open problemen in de wiskunde. Euler publiceerde de constante voor het eerst in 1734; Mascheroni berekende haar onafhankelijk in 1790. Gamma verschijnt in de gammafunctie, de Riemann-zètafunctie, de stelling van Mertens over priemproducten, Besselfuncties en de verdeling van priemhiaten. Omdat er geen streamingalgoritme bestaat, worden de cijfers vooraf berekend en opgeslagen.
Euler-Mascheroni-constante γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the limiet van harmonische reeks minus logaritme.
Pi
Memoriseer pi, e en 38 wiskundige constanten met de cijfertoetsenbordmethode
Nu spelen - gratisGeen account nodig. Werkt op elk apparaat.